#2015_10 My class test problem!

$dm={ \rho }dV$

$dm={ \rho }4\pi { r }^{ 2 }dr$

$I=\frac { 2 }{ 3 } \int { (\rho 4\pi } { r }^{ 2 }dr){ r }^{ 2 }=\frac { 2 }{ 3 } \int { \rho 4\pi } { r }^{ 4 }dr$

$I=\frac { 2 }{ 3 } 4\pi \int { \rho } { r }^{ 4 }dr$

Let ${ r }^{ 5 }=z$

$5{ r }^{ 4 }dr=dz$

${ r }^{ 4 }dr=\frac { dz }{ 5 } =\frac { 2 }{ 3 } \frac { 4\pi }{ 5 } \int { \rho dz }$

Area under the curve = $\frac { 2 }{ 3 } \frac { 4\pi }{ 5 } \times \frac { 1 }{ 2 } { \rho }_{ 0 }{ R }^{ 5 }$

$I=\frac { 2 }{ 3 } \times \frac { 2 }{ 5 } \pi { \rho }_{ 0 }{ R }^{ 5 }=\boxed{\frac { 4 }{ 15 } \pi { \rho }_{ 0 }{ R }^{ 5 }}$