#2015_28 How well you know calculus?

$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left[ \frac { n! }{ { mn }^{ n } } \right] }^{ \frac { 1 }{ n } } } =\frac { 1 }{ m } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left[ \frac { n! }{ { n }^{ n } } \right] }^{ \frac { 1 }{ n } } }$

$=\frac { 1 }{ m } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left[ \frac { 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times .......\times n }{ n\times n\times n\times n\times n\times ......\times n } \right] }^{ \frac { 1 }{ n } } }$

$=\frac { 1 }{ m } \lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left[ \frac { 1 }{ n } \times \frac { 2 }{ n } \times \frac { 3 }{ n } \times \frac { 4 }{ n } \times .....\times \frac { n }{ n } \right] }^{ \frac { 1 }{ n } } } =\quad A\quad (say)$

Taking log ,

$\log { A } =\quad \log { \frac { 1 }{ m } } +\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } \left[ \log { \frac { 1 }{ n } } +\log { \frac { 2 }{ n } } +\log { \frac { 3 }{ n } } +\log { \frac { 4 }{ n } } ....+\log { \frac { n }{ n } } \right] }$

$\Rightarrow \log { A } +\log { m } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \log { \frac { r }{ n } } } }$

$\Rightarrow \log { A } +\log { m } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \log { x } dx }$

$\Rightarrow \log { A } +\log { m } =-1$

$\Rightarrow \log { A } +\log { m } =-\log { e } \\ \Rightarrow A=\frac { 1 }{ me }$

Therefore, $\boxed{\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { \left[ \frac { n! }{ { mn }^{ n } } \right] }^{ \frac { 1 }{ n } } } =\frac { 1 }{ me } }$