Planes

$\alpha$ : ${ b }^{ 2 }x+y+z=bx$ $\leftrightarrow$ $({ b }^{ 2 }-b)x+y+z=0$

$\beta$ : $2x+y=-2-z$ $\leftrightarrow$ $2x+y+z=-2$

$\gamma$ : $x+b(y+z)=0$ $\leftrightarrow$ $x+by+bz=0$

If $\alpha$ and $\beta$ are strictly parallel, their normal vectors are colinear.

$\vec{{n}_{\alpha}}$ : $({ b }^{ 2 }-b,\quad 1,\quad 1)$

$\vec{{n}_{\beta}}$ : $(2,\quad 1,\quad 1)$

$\exists k \in \mathbb{R}: \vec{{n}_{\alpha}}=k\vec{{n}_{\beta}}$ $\leftrightarrow$ $({ b }^{ 2 }-b,\quad 1,\quad 1)=k(2,\quad 1,\quad 1)$ $\leftrightarrow$ $k=1 \wedge { b }^{ 2 }-b=2k$ $\rightarrow$ $b=-1 \vee b=2$ .

If $\gamma$ isn't perpendicular to $\beta$ and $\gamma$ :

$\vec{{n}_{\alpha}} \cdot \vec{{n}_{\gamma}} \neq 0 \wedge \vec{{n}_{\beta}} \cdot \vec{{n}_{\gamma}} \neq 0$

$\vec{{n}_{\gamma}}:(1,\quad b, \quad b)$

$\vec{{n}_{\alpha}} \cdot \vec{{n}_{\gamma}} = 0 \leftrightarrow ({ b }^{ 2 }-b,\quad 1,\quad 1) \cdot (1,\quad b, \quad b) \leftrightarrow { b }^{ 2 }+b=0 \leftrightarrow b=0 \vee b=-1$

$\vec{{n}_{\beta}} \cdot \vec{{n}_{\gamma}} = 0 \leftrightarrow (2,\quad 1,\quad 1) \cdot (1,\quad b, \quad b) = 0 \leftrightarrow 2+2b=0 \leftrightarrow b=-1$

$Then, \quad b\neq -1 \wedge b\neq 0$

$\therefore b=2$