An Elliptical Problem

$1-{e}^2=\frac{b^2}{a^2}$ & $\frac{-dx}{dy}=\frac{a^2}{b^2}\left ( \frac{y}{x} \right )$

Normal at $E(-ae,\frac{b^2}{a})$ passes through $D(0,-b)$

$\Rightarrow \cfrac { \cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } -\left( -b \right) }{ -ae-0 } ={ \left( \cfrac { -dx }{ dy } \right) }_{ E }=\cfrac { { a }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } } .\cfrac { \cfrac { { b }^{ 2 } }{ a } }{ -ae } =\cfrac { -1 }{ e } \\ \\ \Rightarrow \quad \cfrac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } +\cfrac { b }{ a } =1\quad \Rightarrow \quad \left( 1-{ e }^{ 2 } \right) +\sqrt { 1-{ e }^{ 2 } } =1\\ \\ \Rightarrow \quad J={ e }^{ 4 }+{ e }^{ 2 }=1\quad \Rightarrow \quad { e }^{ 2 }=\cfrac { \sqrt { 5 } -1 }{ 2 } \\ \\ \& \quad K=\cfrac { a }{ b } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { 1-{ e }^{ 2 } } } =\cfrac { 1 }{ \sqrt { { e }^{ 4 } } } =\cfrac { 2 }{ \sqrt { 5 } -1 } =1.618\\ \\ \Rightarrow \quad J\times K=1\times 1.618$