An old IMO shortlist

$\sum_{cyc}\frac{a^{3}}{b + c + d}$

$=\sum_{cyc}\frac{a^{4}}{ab + ac + ad}$

$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd}$ [By Tittu's Lemma]

$\geq \frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{a^2+b^2+a^2+c^2+a^2+d^2+b^2+c^2+b^2+d^2+c^2+d^2}$

$=\frac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+d^2)}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{3}$

$\geq \frac{1}{3}$

What I used in the last step is : $(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+d^2)+(d^2+a^2) \geq 2(ab+bc+cd+da) = 2$

So, $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 1$