Another Divisibility Question

We will use Lifting the Exponent Lemma . For prime $p$ , denote $v_p(x)$ such that $p^{v_p(x)} | x$ but $p^{v_p(x)+1} \nmid x$ , that is, the greatest power of $p$ that divides $x$ .

We have that $v_{11}(729^{66} - 64^{33}) = v_{11}(81^{99} - 4^{99}) = v_{11}(77) + v_{11}(99) = \boxed{2}$ .

On voit aisément que:

$729^{66} - 64^{33} = 9^{198} - 2^{198} = a^{9} - b^{9} \qquad où \qquad a = 9^{22} \qquad et \qquad b= 2^{22}$

Nous pouvons faire: $a^{9} - a^{9} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})(a^6 + a^{3}b^{3} + a^{6})$

On vérifie facilement (par calcul modulo 11) que seul le terme $a - b$ est divisible par $11$

$a - b = 9^{22} - 2^{22} = (9^{11} - 2^{11})(9^{11} + 2^{11})$

le terme $9^{11} - 2^{11}$ n'est pas divisible par $11$

$9^{11} + 2^{11} = (11 - 2)^{11} + 2^{11} = \sum _{k=1}^{10} \binom {11} {k} 11^{k}(-2)^{11-k}$ d'où: $9^{11} + 2^{11} \equiv \binom {11} {1} 11(-2)^{10} \equiv 11^2(-2)^{10}\equiv 0 \pmod {11^2}$ et $9^{11} + 2^{11} \equiv \binom {11} {2} 11^2(-2)^{9}+ \binom {11} {1} 11(-2)^{10} \equiv 11^2(-2)^{10}\equiv 121 \pmod {11^3}$