Basic trigo - I

by cross multiplication, we get

$\sin { x } =ak$

$\cos { x=bk }$

$\tan { x } =ck$

now, $\cos { x\cdot tanx=bc{ k }^{ 2 } } \Rightarrow \quad bc=\frac { \sin { x } }{ { k }^{ 2 } } \Rightarrow \quad bc=\frac { a }{ k }$

$\frac { 1 }{ ck } +\frac { ak }{ 1+bk } =\frac { 1 }{ \tan { x } } +\frac { \sin { x } }{ 1+\cos { x } } =\frac { \cos { x } }{ \sin { x } } +\frac { \sin { x } }{ 1+\cos { x } } =\frac { \cos { x } +\cos ^{ 2 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ x } }{ \sin { x } \left( 1+\cos { x } \right) } =\frac { 1 }{ \sin { x } }$

$\Rightarrow \frac { 1 }{ ck } +\frac { ak }{ 1+bk } =\frac { 1 }{ ak }$

so, $bc+\frac { 1 }{ ck } +\frac { ak }{ 1+bk } =\frac { a }{ k } +\frac { 1 }{ ak } =\frac { 1 }{ k } \left( a+\frac { 1 }{ a } \right)$