calculate trigonometric values..-2

An inefficient solution—due to the fact that I have incomprehensive knowledge of this subject—based off of sum-to-product formulas and the exact value of cos 36º

• $\cos { u } \quad +\quad \cos { v } \quad =\quad 2\cos { \left( \frac { u\quad +\quad v }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { u\quad -\quad v }{ 2 } \right) }$
• $\cos { 36º } \quad =\quad \frac { \sqrt { 5 } \quad +\quad 1 }{ 4 }$

Given: $\cos { 24º } \quad +\quad \cos { 48º } \quad +\quad \cos { 96º } \quad +\quad \cos { 168º }$ $\Rightarrow \quad (\cos { 24º } \quad +\quad \cos { 168º) } \quad +\quad (\cos { 48º } \quad +\quad \cos { 96º } )\\ \Rightarrow \quad 2\cos { \left( \frac { 24º\quad +\quad 168º }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 24º\quad -\quad 168º }{ 2 } \right) } \quad +\quad 2\cos { \left( \frac { 48º\quad +\quad 96º }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 48º\quad -\quad 96º }{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \quad 2\cos { 96º } \cos { 72º } \quad +\quad 2\cos { 72º } \cos { 24º } \\ \Rightarrow \quad 2\cos { 72º\left( \cos { 96º } \quad +\quad \cos { 24º } \right) } \\ \Rightarrow \quad 2\cos { 72º\left( 2\cos { \left( \frac { 96º\quad +\quad 24º }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 96º\quad -\quad 24º }{ 2 } \right) } \right) } \\ \Rightarrow \quad 2\cos { 72º } \cos { 36º }$

Applying double-angle formula: $\cos { 2\theta \quad =\quad 2\cos ^{ 2 }{ \theta \quad -\quad 1 } }$ $\Rightarrow \quad \cos { 72º\quad =\quad 2\cos ^{ 2 }{ 36º\quad -\quad 1 } } \quad =\quad 2{ \left( \frac { \sqrt { 5 } \quad +\quad 1 }{ 4 } \right) }^{ 2 }\quad -\quad 1\\ \Rightarrow \quad \cos { 72º\quad =\quad } \frac { \sqrt { 5 } \quad -\quad 1 }{ 4 }$

Plugging in we get: $2\cos { 72º } \cos { 36º\quad =\quad 2\left( \frac { \sqrt { 5 } \quad +\quad 1 }{ 4 } \right) } \left( \frac { \sqrt { 5 } \quad -\quad 1 }{ 4 } \right) \quad =\quad 2\left( \frac { 5\quad -\quad 1 }{ 16 } \right) \quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad =\quad \boxed { 0.5 }$

$\cos24^\circ+\cos48^\circ+\cos96^\circ+\cos168^\circ\\=\cos24^\circ+\cos96^\circ+\cos48^\circ-\cos12^\circ\\=\left(2\cos60^\circ\cos36^\circ\right)+\left(-2\sin30^\circ\sin18^\circ\right)\\=\cos36^\circ-\sin18^\circ=\sin54^\circ-\sin18^\circ\\=\dfrac{2\cos36^\circ\sin18^\circ\cos18^\circ}{\cos18^\circ}=\dfrac{2\cos36^\circ\sin36^\circ}{2\cos18^\circ}\\=\dfrac{\sin72^\circ}{2\cos18^\circ}=\frac{1}{2}$

use complex numbers..becomes a simple GP