There are only two unknowns!?

$ax+by=8\cdots (1)\\ a{ x }^{ 2 }+b{ y }^{ 2 }=14\cdots (2)\\ a{ x }^{ 3 }+b{ y }^{ 3 }=62\cdots (3)\\ a{ x }^{ 4 }+b{ y }^{ 4 }=146\cdots (4)\\ find\quad a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }\\ (4)\times (x+y)\\ (a{ x }^{ 4 }+b{ y }^{ 4 })(x+y)=146(x+y)\\ a{ x }^{ 5 }+a{ x }^{ 4 }y+b{ y }^{ 4 }x+b{ y }^{ 5 }=146(x+y)\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }+xy(a{ x }^{ 3 }+b{ y }^{ 3 })=146(x+y)\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }+62xy=146(x+y)\cdots (5)\\ (2)\times (x+y)\\ similarly\\ a{ x }^{ 3 }+b{ y }^{ 3 }+8xy=14(x+y)\\ 62+8xy=14(x+y)\cdots (6)\\ (3)\times (x+y)\\ similarly\\ a{ x }^{ 4 }+b{ y }^{ 4 }+14xy=62(x+y)\\ 146+14xy=62(x+y)\cdots (7)\\ (6)\div (7)\\ \frac { 62+8xy }{ 146+14xy } =\frac { 14 }{ 62 } \\ simplify\quad it\quad \\ xy=-6\cdots (8)\\ put\quad xy=-6\quad into\quad (7)\\ 146-14\times 6=62(x+y)\\ (x+y)=1\cdots (9)\\ put\quad (8)\quad and\quad \quad (9)\quad into\quad (5)\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }+62xy=146(x+y)\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }=146(1)-62(-6)\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }=146+372\\ a{ x }^{ 5 }+b{ y }^{ 5 }=518$