Clear the boundary of Parameter

$Given\quad that,\\ \qquad { x }^{ 3 }(x+1)=2(x+a)(x+2a)\\ \qquad { x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }-6ax-4{ a }^{ 2 }=0\\ \qquad 4{ a }^{ 2 }+6ax-({ x }^{ 4 }+{ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 })=0\\ \qquad \Delta ={ (4{ x }^{ 2 }+2x) }^{ 2 }\\ \qquad Let\quad { a }_{ 1 },{ a }_{ 2 }\quad be\quad the\quad roots\quad of\quad the\quad above\quad equation\\ \qquad { a }_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }-x);\quad { a }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 2 } ({ x }^{ 2 }+2x)\\ \qquad So,\quad (2a-{ x }^{ 2 }+x)(2a+{ x }^{ 2 }+2x)=0\\ \qquad So,\quad { x }_{ 1,2 }=-1\pm \sqrt { 1-2a } ;\quad { x }_{ 3,4 }=\frac { 1 }{ 2 } \pm \frac { 1 }{ 2 } \sqrt { 1+8a } \\ \qquad which\quad are\quad all\quad real\quad if\quad a\in \left[ \frac { -1 }{ 8 } ,\frac { 1 }{ 2 } \right] .\\ \qquad So,\quad \alpha +\beta =0.375$