Cot in A.P.

$CotA=\frac { CosA }{ SinA } ,CotB=\frac { CosB }{ SinB } ,CotC=\frac { CosC }{ SinC } \\ \\ \\ By\quad using\quad Cosine\quad Rule\quad and\quad Sine\quad Rule\quad we\quad get,\\ \\ \\ CotA=\frac { { b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } }{ 2bca } \times 2R\\ CotB=\frac { { a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }{ 2acb } \times 2R\\ CotC=\frac { a^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 } }{ 2abc } \times 2R\\ Here,2R\quad is\quad the\quad circumradius\quad and\quad a,b,c\quad are\quad sides\quad opposite\quad to\quad angles\quad A,B,C\quad respectively.\\ \\ \\ Since,CotA,CotB,CotC\quad are\quad in\quad A.P.,\\ \\ CotA+CotC=2CotB\\ \\ ({ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ a }^{ 2 })+({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }-{ c }^{ 2 })=2({ a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }-{ b }^{ 2 })\\ 2{ b }^{ 2 }=2{ a }^{ 2 }+2{ c }^{ 2 }-2{ b }^{ 2 }\\ 4{ b }^{ 2 }=2{ a }^{ 2 }+2{ c }^{ 2 }\\ 2{ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\\ \\ Therefore,{ a }^{ 2 },{ b }^{ 2 },{ c }^{ 2 }\quad are\quad in\quad A.P.$