Crazy Limits!!! 1

Actually,this is not as hard as this solution seems.So at least have a look $\large { e }^{ -{ t }^{ 2 } }=\sum _{ r=0 }^{ \infty } \cfrac { { ({ -t }^{ 2 }) }^{ r } }{ r! } =\sum _{ r=0 }^{ \infty }{ { (-1) }^{ r } } \cfrac { { t }^{ 2r } }{ r! } \\ \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -{ t }^{ 2 } }dt= } \left[ \sum _{ r=0 }^{ \infty }{ \cfrac { { (-1) }^{ r } }{ 2r+1 } } \cfrac { { t }^{ 2r+1 } }{ r! } \right] _{ 0 }^{ x }=\sum _{ r=0 }^{ \infty }{ \cfrac { { (-1) }^{ r } }{ 2r+1 } } \cfrac { { x }^{ 2r+1 } }{ r! } \\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum _{ r=0 }^{ \infty }{ { C }_{ r } } { x }^{ 2r+1 }\quad \quad \quad where\quad { C }_{ r }=\cfrac { { (-1) }^{ r } }{ 2r+1 } \cfrac { 1 }{ r! } \\ \\ \Rightarrow I=\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \cfrac { \int _{ 0 }^{ x }{ { e }^{ -{ t }^{ 2 } }dt-x+\cfrac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } } }{ { x }^{ 5 } } =\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \cfrac { \left( x-\cfrac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ \cfrac { 1 }{ 10 } x }^{ 5 }+\sum _{ r=3 }^{ \infty }{ { C }_{ r } } { x }^{ 2r+1 } \right) -x+\cfrac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 } }{ { x }^{ 5 } } \\ \\ \quad \quad \quad I=\underset { x\rightarrow 0 }{ lim } \left( \cfrac { 1 }{ 10 } +{ C }_{ 3 }{ x }^{ 2 }{ +C }_{ 4 }{ x }^{ 4 }+{ C }_{ 5 }{ x }^{ 6 }+.... \right) =\cfrac { 1 }{ 10 } \\ \\ for\quad r>0\\ \\ { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } -1\le \left[ { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } \right] \le { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } +1\\ \\ \Rightarrow \sum _{ r=1 }^{ n }{ ({ r }^{ 2 }\sqrt { 7 } -1) } \le \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left[ { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } \right] } \le \sum _{ r=1 }^{ n }{ ({ r }^{ 2 }\sqrt { 7 } +1) } \\ \\ \Rightarrow \cfrac { 2{ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+n }{ 6 } \sqrt { 7 } -n\quad \le \quad \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left[ { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } \right] } \quad \le \quad \cfrac { 2{ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+n }{ 6 } \sqrt { 7 } +n\\ \\ \Rightarrow \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \cfrac { \left( \cfrac { 2{ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+n }{ 6 } \sqrt { 7 } -n \right) }{ n^{ 3 } } \le \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \cfrac { \sum _{ r=1 }^{ n }{ \left[ { r }^{ 2 }\sqrt { 7 } \right] } }{ n^{ 3 } } \le \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \cfrac { \left( \cfrac { 2{ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+n }{ 6 } \sqrt { 7 } +n \right) }{ n^{ 3 } } \\ \\ \Rightarrow \cfrac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \le K\le \cfrac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \quad \Rightarrow K=\cfrac { \sqrt { 7 } }{ 3 } \\ \\ Ans={ \pi }^{ 2 }I+\cfrac { 9 }{ 4 } { K }^{ 2 }=10\times \cfrac { 1 }{ 10 } +\cfrac { 9 }{ 4 } \times \cfrac { 7 }{ 9 } =2.75$