Cutting the transversal!

We know, $y={ m }_{ r }x\quad \quad ----(i)\\ x+y=1\quad -----(ii)$

Solving the equations, we get

$x=\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ r } }$ , $y=\frac { { m }_{ r } }{ 1+{ m }_{ r } }$

Therefore points of intersection on transversal are $(\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 1 } } ,\frac { { m }_{ 1 } }{ 1+{ m }_{ 1 } } )$ , $(\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 2 } } ,\frac { { m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 2 } } )$ and $(\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 3 } } ,\frac { { m }_{ 3 } }{ 1+{ m }_{ 3 } } )$ .

By distance formula, we get

${ (\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 1 } } -\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 2 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { m }_{ 1 } }{ 1+{ m }_{ 1 } } -\frac { { m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 2 } } ) }^{ 2 }={ { (\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 2 } } - }\frac { 1 }{ 1+{ m }_{ 3 } } ) }^{ 2 }+{ (\frac { { m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 2 } } - }\frac { { m }_{ 3 } }{ 1+{ m }_{ 3 } } )^{ 2 }$

$=>\quad \frac { { m }_{ 2 }-{ m }_{ 1 } }{ 1+{ m }_{ 1 } } =\frac { { m }_{ 3 }-{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 3 } }$

(OR)

$\\ =>\quad \frac { 1+{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 } } -1=1-\frac { 1+{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 3 } }$

$=>\quad \frac { 1+{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 1 } } +\frac { 1+{ m }_{ 2 } }{ 1+{ m }_{ 3 } } =2$

$\\ 1+{ m }_{ 2 }=\quad \frac { 2(1+{ m }_{ 1 })(1+{ m }_{ 3 }) }{ (1+{ m }_{ 1 })+(1+{ m }_{ 3 }) }$

$\therefore \quad 1+{ m }_{ 1 },1+{ m }_{ 2 },1+{ m }_{ 3 }\quad are\quad in\quad HP\quad \quad$