$\displaystyle \lambda$ and $\wp$ under the ceilings!

Edited

$\rho =\lim _{ n\to \infty } (\prod _{ r=1 }^{ r=n } \frac { n^{ 2 }+r^{ 2 } }{ n^{ 2 } } )^{ \frac { 1 }{ n } }\\ \\ \ln { \rho } =\quad \lim _{ n\to \infty } \quad \cfrac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \ln { (1+{ (\cfrac { r }{ n } ) }^{ 2 }) } }$ .

Now Using Riemann Sums :

$\quad \rho =\lim _{ n\to \infty } (\prod _{ r=1 }^{ r=n } \frac { n^{ 2 }+r^{ 2 } }{ n^{ 2 } } )^{ \frac { 1 }{ n } }\\ \\ \ln { \rho } =\quad \lim _{ n\to \infty } \quad \cfrac { 1 }{ n } \sum _{ r=1 }^{ n }{ \ln { (1+{ (\cfrac { r }{ n } ) }^{ 2 }) } } \\ \\ \ln { \rho } \quad =\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ \ln { (1+{ x }^{ 2 })dx } } \quad =\quad ln2\quad -\quad 2\quad +\cfrac { \pi }{ 2 } \quad \quad .\quad .\quad .\quad .\quad (1)\\ \\ \lambda =\int _{ 0 }^{ 1 } \frac { dx }{ 1+x^{ 3 } } \quad \\ \\ \lambda =\quad \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { { x }^{ 2 }+1-{ x }^{ 2 }\quad }{ 1+x^{ 3 } } dx\quad \\ \quad =\quad \cfrac { 1 }{ 3 } \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { 3{ x }^{ 2 }dx }{ 1+x^{ 3 } } \quad \quad +\quad \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { (1+x)(1-x) }{ (1+x)({ x }^{ 2 }+1-x) } dx\\ \\ \quad ={ \quad \cfrac { 1 }{ 3 } [ln(1+x^{ 3 })] }_{ 0 }^{ 1 }\quad \quad +\quad \int _{ 0 }^{ 1 } \frac { 1-x }{ ({ x }^{ 2 }+1-x) } dx\\ \\ 3\lambda \quad =\quad \ln { 2 } \quad +\quad \cfrac { \pi }{ \sqrt { 3 } } \quad \quad ........\quad (2)\\ \\ \left\lceil 3\lambda +\ln { \rho } \right\rceil \quad =\left\lceil \ln { 2 } \quad +\quad \cfrac { \pi }{ \sqrt { 3 } } \quad +\quad ln2\quad -\quad 2\quad +\cfrac { \pi }{ 2 } \right\rceil \quad =\quad 3$ .