Double Laps 2018!

$\begin{aligned} \sum_{k=2}^\infty f(k) & = \sum_{k=2}^\infty \sum_{j=2}^{2018} \frac 1{j^k} = \sum_{j=2}^{2018} \sum_{k=2}^\infty \frac 1{j^k} = \sum_{j=2}^{2018} \frac 1{j^2} \left(\frac 1{1-\frac 1j}\right) \\ & = \sum_{j=2}^{2018} \frac 1{j(j-1)} = \sum_{j=2}^{2018} \left(\frac 1{j-1} - \frac 1j\right) \\ & = 1-\frac 1{2017} \approx \boxed{0.99950} \end{aligned}$

$\sum _{ k=2 }^{ \infty }{ f\left( k \right) } =(\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+...+\frac1{2018^2})+(\frac1{2^3}+\frac1{3^3}+\frac1{4^3}+...+\frac1{2018^3})+(\frac1{2^4}+\frac1{3^4}+\frac1{4^4}+...+\frac1{2018^4})+...$ $=(\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+...)+(\frac1{3^2}+\frac1{3^3}+\frac1{3^4}+...)+(\frac1{4^2}+\frac1{4^3}+\frac1{4^4}+...)+...+(\frac1{2018^2}+\frac1{2018^3}+\frac1{2018^4}+...)$ $=\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+...+\frac1{2017\times2018}$ $=1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+...+\frac1{2017}-\frac1{2018}$ $=\frac{2017}{2018}$