Componendo dividendo

$\frac { \log _{ y }{ x } -\log _{ x }{ y } }{ \log _{ y }{ x } +\log _{ x }{ y } } =\frac { 4 }{ 5 }$ $\frac { \dfrac { 1 }{ \log _{ x }{ y } } -\log _{ x }{ y } }{ \dfrac { 1 }{ \log _{ x }{ y } } +\log _{ x }{ y } } =\frac { 4 }{ 5 }$

Substitute $\log_x y$ with $t$

$\dfrac { \dfrac { 1 }{ t } -t }{ \dfrac { 1 }{ t } +t } =\dfrac { 4 }{ 5 }$

$\dfrac { \dfrac { 2 }{ t } }{ -2t } =\dfrac { 4 }{ 5 }$ $t = \dfrac{1}{3}$

Now, $\log_x y = \dfrac{1}{3}$

$\implies \large{ x^{\frac{1}{3}} = y}$ or $\boxed{\large{x=y^3}}$

$\displaystyle \frac { \log _{ y }{ x } -\log _{ x }{ y } }{ \log _{ y }{ x } +\log _{ x }{ y } } =\frac { 4 }{ 5 } \\ \\ {\text apply\: componendo\: dividendo\\} \displaystyle \frac { \log _{ y }{ x } -\log _{ x }{ y } +\log _{ y }{ x } +\log _{ x }{ y } }{ \log _{ y }{ x } - \displaystyle \log _{ x }{ y } -\log _{ y }{ x } +\log _{ x }{ y } } =\frac { 4+5 }{ 4-5 } \\ \\ \displaystyle \frac { 2\log _{ y }{ x } }{ -2\log _{ x }{ y } } =\frac { 9 }{ -1 } \\ \displaystyle \frac { \log _{ y }{ x } }{ \log _{ x }{ y } } =9\\ \displaystyle \log _{ y }{ x } =9\log _{ x }{ y } \\ \displaystyle use\: base\: change\: formula \:and\: change\: base\: of\: all\: logs\: to\: 10\\ \displaystyle \frac { \log _{ 10 }{ x } }{ \log _{ 10 }{ y } } =9\frac { \log _{ 10 }{ y } }{ \log _{ 10 }{ x } } \\ \displaystyle upon\: cross-multiplying\\ \displaystyle { (\log _{ 10 }{ x } ) }^{ 2 }=9({ \log _{ 10 }{ y } ) }^{ 2 }\\ \displaystyle take\: positive\: square\: root\: on\: both\: sides\\ \displaystyle \log _{ 10 }{ x } =3\log _{ 10 }{ y } \\ \displaystyle take\: power \:inside\: log\\ \displaystyle \log _{ 10 }{ x } =\log _{ 10 }{ { y }^{ 3 } } \\ \displaystyle 1=\frac { \log _{ 10 }{ { y }^{ 3 } } }{ \log _{ 10 }{ x } } \\ \displaystyle again\: use\: base\: change\: formula\\ \displaystyle 1=\log _{ x }{ { y }^{ 3 } } \\ \displaystyle \boxed {x={ y }^{ 3 }}$