Euclid's Algorithm

Como ${22x}\equiv 14\pmod{97}$ , então existe um $y$ inteiro tal que ${22x}-14={97y}$ ou ${22x}-{97y}=14$ . Uma equação Diofantina. Assim, pelo algoritmo de Euclides, temos: $97=4\times22 +9$ $\Rightarrow$ $22=2\times9 +4$ $\Rightarrow$ $9=2\times4 +1$ . Daí, $9-2\times4=1$ $\Rightarrow$ $9-2\times(22-2\times9)=1$ $\Rightarrow$ $5\times9 - 2\times22=1$ $\Rightarrow$ $5\times(97-4\times22) - 2\times22=1$ $\Rightarrow$ $5\times97 - 22\times22=1$ . Segue que, $22\times(-22) - 97\times(-5)=1$ . Multiplicando por 14, temos $22\times(-308)-97\times(-70)=14$ . Assim, $(-308,-70)$ é uma solução particular. As outras são da forma $x=-308-{97k}$ e $y=-70-{22k}$ . Como $x>0$ , segue que $-308-{97k}>0$ , ou seja, $k\le-4$ . Tomando, então, $k=-4$ , pois é o menor valor que torna $x$ positivo, obtemos $x=\boxed{80}$