Exponential Comparison

$\frac { 32 }{ 243 } <{ (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ { x }^{ 2 } }<\frac { 9 }{ 4 } \cdot { (\frac { 8 }{ 27 } ) }^{ x }\\ \Rightarrow { (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ 5 }<{ (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ { x }^{ 2 } }<{ (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ -2 }\cdot { (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ 3x }\\ \Rightarrow { (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ 5 }<{ (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ { x }^{ 2 } }<{ (\frac { 2 }{ 3 } ) }^{ -2+3x }\\ \Rightarrow 5>{ x }^{ 2 }>-2+3x$

Solving $x$ in inequalities,

${ x }^{ 2 }-5<0\\ \Rightarrow -\sqrt { 5 } <x<\sqrt { 5 }$

${ x }^{ 2 }-3x+2>0\\ \Rightarrow (x-2)(x-1)>0\\ \Rightarrow x>2,x<1$

We then have the solutions

$-\sqrt { 5 } <x<1\\ 2<x<\sqrt { 5 }$

The integer solutions of $x$ are $-2,-1,0$ .