Four in Five

Label the diagram as follows:

Let the side of each pentagon be $1$ , let the side of the left square be $s_1$ , and let the side of the right square be $s_2$ . Also, let $AC = x$ , so that $CD = 1 - x$ .

Since the interior angle of a regular pentagon is $108°$ , $\angle CDE = \angle FGH = 108°$ and $\angle BAC = \frac{108°}{2} = 54°$ , which by corresponding angles means that $\angle DCE = \angle BAC = 54°$ and $\angle CED = 180° - \angle ECD - \angle EDC = 18°$ .

Then from right $\triangle ABC$ , $\sin 54° = \cfrac{s_1}{2x}$ , and from the law of sines on $\triangle CDE$ , $\cfrac{s_1}{\sin 108°} = \cfrac{1 - x}{\sin 18°}$ , and these two equations solve to $s_1 \approx 1.060$ .

On the right side, $\angle GFH = \frac{1}{2}(108° - 90°) = 9°$ and $\angle FHG = 180° - \angle GFH - \angle FGH = 63°$ .

Then from the law of sines on $\triangle FGH$ , $\cfrac{s_2}{\sin 108°} = \cfrac{1}{\sin 63°}$ , which solves to $s_2 \approx 1.067$ .

Since $s_2 > s_1$ , the right square is larger.

Davidさんのやり方にsinの値の出し方がなかったので書いておきます。 ググればすぐ出るものではなく、オリジナルだろうなというものを載せます！ 黄金比φを使ってsin108を出しました。数式の書き方がわからないので説明のみ 五角形の一辺の片方の頂点Eから伸ばした延長線に隣の頂点Cから下ろした垂線の長辺をb,短辺をa、垂線の足をDとおきます。 また、五角形の一辺を１と置いたときに、対角線はφを取ります。これはそういうものと決まっています。 角Eは108°なので、sin108°をb/1と表せます。 加えて、三平方の定理によって a^2+b^2=1 (a+1)^2+b^2=φ^2 が得られます。 今回はsin108°=bなので、二つの式をbについて連立すれば、答えになります。 φ^4とφ^2がでてきますが、φの累乗はフィボナッチ数列にしたがって規則的な係数をとるので、思いの外計算は楽です。 参考になれば！