Halving the Tangent, Twice

Let $\tan { \frac { A }{ 2 } } \tan { \frac { C }{ 2 } } =x$
$\begin{aligned} \tan { \frac { A }{ 2 } } \tan { \frac { C }{ 2 } } &=\quad \frac { \sin { \frac { A }{ 2 } } \sin { \frac { C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A }{ 2 } } \cos { \frac { C }{ 2 } } } \\ &=\frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } -\cos { \frac { A+C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A-C }{ 2 } } +\cos { \frac { A+C }{ 2 } } } \\\Rightarrow\frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } -\cos { \frac { A+C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A-C }{ 2 } } +\cos { \frac { A+C }{ 2 } } } &=x\\ \frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A+C }{ 2 } } } &=\frac { 1+x }{ 1-x } \end{aligned}$
$5(\cos A+\cos C)+4(\cos A\cos C+1) \\=10\cos { \frac { A+C }{ 2 } } \cos { \frac { A-C }{ 2 } } +4\left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \cos { \left( A+C \right) } +\cos { \left( A-C \right) } \right) +1 \right) \\ =10\cos { \frac { A+C }{ 2 } } \cos { \frac { A-C }{ 2 } } +4\left( \frac { 1 }{ 2 } \left( 2\cos ^{ 2 }{ \frac { A+C }{ 2 } } +2\cos ^{ 2 }{ \frac { A-C }{ 2 } } -2 \right) +1 \right) \\ =10\cos { \frac { A+C }{ 2 } } \cos { \frac { A-C }{ 2 } } +4\left( \cos ^{ 2 }{ \frac { A+C }{ 2 } } +\cos ^{ 2 }{ \frac { A-C }{ 2 } } \right) \\ =\cos { \frac { A+C }{ 2 } } \cos { \frac { A-C }{ 2 } } \left[ 10+4\left( \frac { \cos { \frac { A+C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A-C }{ 2 } } } +\frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A+C }{ 2 } } } \right) \right]$ $\begin{aligned} \Rightarrow \cos { \frac { A+C }{ 2 } } \cos { \frac { A-C }{ 2 } } \left[ 10+4\left( \frac { \cos { \frac { A+C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A-C }{ 2 } } } +\frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A+C }{ 2 } } } \right) \right] &=0\\ \left[ 10+4\left( \frac { \cos { \frac { A+C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A-C }{ 2 } } } +\frac { \cos { \frac { A-C }{ 2 } } }{ \cos { \frac { A+C }{ 2 } } } \right) \right] &=0\\ 10+4\left( \frac { 1-x }{ 1+x } +\frac { 1+x }{ 1-x } \right) &=0\\ 10\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) +4\left( { \left( 1-x \right) }^{ 2 }+{ \left( 1+x \right) }^{ 2 } \right) &=0\\ 2{ x }^{ 2 }&=18 \end{aligned}$
$\Huge \color{#3D99F6}{\Rightarrow x=\boxed{3}}$

$5\left( \cos { A } +\cos { C } \right) +4\left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) =5\left( \cos { A } +1 \right) \left( \cos { B } +1 \right) -\left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) =0$

$\Rightarrow 5\left( \cos { A } +1 \right) \left( \cos { B } +1 \right) =\left( \cos { A } \cos { C } +1 \right)$ .

$\Rightarrow \cos ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } } \cos ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } =\frac { \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) }{ 20 } \longrightarrow (1)$

$\left( 1-\sin ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } } \right) \left( 1-\sin ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } \right) =1-\sin ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } } -\sin ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } \sin ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } }$

$\Rightarrow \sin ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } \sin ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } } =\frac { \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) }{ 20 } -1+\sin ^{ 2 }{ \frac { A }{ 2 } } +\sin ^{ 2 }{ \frac { C }{ 2 } } =\frac { \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) -10(\cos { A } +\cos { C } ) }{ 20 } \longrightarrow (2)$

$\frac { (1) }{ (2) } ={ \left( \tan { \frac { C }{ 2 } } \tan { \frac { A }{ 2 } } \right) }^{ 2 }=\frac { \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) -10(\cos { A } +\cos { C } ) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } =1-\frac { 10(\cos { A } +\cos { C } ) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) }$

$\frac { (1) }{ (2) } ={ \left( \tan { \frac { C }{ 2 } } \tan { \frac { A }{ 2 } } \right) }^{ 2 }=\frac { \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) -10(\cos { A } +\cos { C } ) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } =1-\frac { 10(\cos { A } +\cos { C } ) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } \longrightarrow (3)$

From given expression

$\frac { 5\left( \cos { A } +\cos { C } \right) +4\left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } =4+\frac { 5\left( \cos { A } +\cos { C } \right) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } =0$

$\Rightarrow \frac { -10\left( \cos { A } +\cos { C } \right) }{ \left( \cos { A } \cos { C } +1 \right) } =8\Rightarrow { \left( \tan { \frac { C }{ 2 } } \tan { \frac { A }{ 2 } } \right) }^{ 2 }=1+8=9\Rightarrow \tan { \frac { C }{ 2 } } \tan { \frac { A }{ 2 } } =3$ .

$\longrightarrow (3)$ means $3$ rd equation just for highlighting.