Inspired by Ossama Ismail

For any $m \times n$ matrix $A[m][n]$ :

$\begin{aligned} && && & & & & max(Row) \\ && A_{11} && A_{12} & \dots & A_{1n} & & max(R_1) \\ && A_{21} && A_{22} & \dots & A_{2n} & & max(R_2) \\ && && \dots & & & \\ && \color{#D61F06}{A_{r1}} && \color{#D61F06}{A_{r2}} & \color{#D61F06}{\dots} & \color{#D61F06}{A_{rn}} & & \color{#D61F06}{max(R_r)} \\ && && \dots & & & \\ && A_{m1} && A_{m2} & \dots & A_{mn} & & max(R_m) \\ && && \dots & & & \\ min(Column) && min(C_1) && min(C_2)& \dots & min(C_n) & \end{aligned}$

Let $min(max(Row)) = max(R_r)$ .

Now, by definition

$\begin{aligned} min(C_1) \leq A_{r1} \leq max(R_r)\\ min(C_2) \leq A_{r2} \leq max(R_r)\\ \dots\\ min(C_n) \leq A_{rn} \leq max(R_r) \end{aligned}$

$\Rightarrow max(min(Column)) \leq max(R_r)$

$\Rightarrow max(min(Column)) \leq min(max(Row))$

$\Rightarrow B \leq A$