integral_04

$\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } +\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } \\ \int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } =\int _{ 1 }^{ 0 }{ \frac { \ln { ( } \frac { 1 }{ u } ) }{ 1-\frac { 1 }{ u^{ 2 } } } \frac { -du }{ u^{ 2 } } } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \ln { ( } u) }{ 1-u^{ 2 } } du } \\ Now\quad let\quad I=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } \\ so\quad \int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } =2I\\0<x<1\Rightarrow \frac { 1 }{ 1-x^{ 2 } } = \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2k } } \color{#3D99F6} \text{ // geometric series} \\ I=\int _{ 0 }^{ 1 } \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { x }^{ 2k }\cdot \ln { ( } x) } dx=\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \int _{ 0 }^{ 1 } x }^{ 2k }\cdot \ln { ( } x) } dx \\ I=\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left[ \frac { { x }^{ 2k+1 } }{ 2k+1 } \ln { ( } x)|_{ 0 }^{ 1 } \right] -\frac { 1 }{ 2k+1 } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 2k }dx } } } =-\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { \left( 2k+1 \right) }^{ 2 } } } \color{#3D99F6} \text{ // integration by part} \\ \color{#D61F06} I \text{ is only the odd squares} \\ \text{so }I=-\left[ \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } -\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { \left( 2k \right) }^{ 2 } } } \right] =-\left[ \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } -\frac { 1 }{ 4 } \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } \right] \\ I=-\left[ \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 6 } -\frac { 1 }{ 4 } \cdot \frac { { \pi }^{ 2 } }{ 6 } \right] =-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 8 }\\\int _{ 0 }^{ \infty }{ \frac { \ln { ( } x) }{ 1-x^{ 2 } } dx } =2\cdot -\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 8 } =-\frac { { \pi }^{ 2 } }{ 4 } \\ a+b+c=7$