Integration (8)

$\int { 4{ x }^{ 3 } } \left\{ \frac { { d }^{ 2 } }{ d{ x }^{ 2 } } \left[ 1-{ x }^{ 2 } \right] ^{ 5 } \right\} dx$

= $\left[ 4{ x }^{ 3 }\frac { d }{ dx } { \left[ 1-{ x }^{ 2 } \right] }^{ 5 } \right] \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\quad -\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left[ \frac { d }{ dx } \left( 4{ x }^{ 3 } \right) \right] } .\left[ \frac { d }{ dx } { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 5 } \right] .dx$

= $4{ x }^{ 3 }\left( -10x \right) { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 5 }\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\quad -\quad \int _{ 0 }^{ 1 }{ 12{ x }^{ 2 } } { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 4 }\left( -10x \right) dx$

= $(0-0)\quad +\quad 120\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 3 } } { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 4 }dx$

$now\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad put\quad 1-{ x }^{ 2 }=t\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad -2xdx\quad =dt\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad xdx=-0.5dt\\ { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad x }^{ 2 }=1-t$

$=120\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( 1-t \right) } \left( { t }^{ 4 } \right) \left( -0.5 \right) dt\\ =\left( -0.5 \right) 120\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( 1-t \right) } \left( { t }^{ 4 } \right) dt\\ =-60\int _{ 1 }^{ 0 }{ \left( 1-t \right) } \left( { t }^{ 4 } \right) dt\\ =60\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 1-t \right) } \left( { t }^{ 4 } \right) dt$

$=60\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { t }^{ 4 }-{ t }^{ 5 } \right) } dt$

$=60\left[ \frac { { t }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { { t }^{ 6 } }{ 6 } \right] \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}$

$=60\left\{ \left[ \frac { { 1 }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { { 1 }^{ 6 } }{ 6 } \right] -\left[ \frac { { 0 }^{ 5 } }{ 5 } -\frac { { 0 }^{ 6 } }{ 6 } \right] \right\} \\ =60\left\{ \frac { 1 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 6 } \right\} \\ =60\left\{ \frac { 6-5 }{ 5*6 } \right\} \\ =60\left\{ \frac { 1 }{ 30 } \right\} =2$