Jee Main 2018 # 2

$L=\lim _{ n\to \infty } \sum _{ r=0 }^{ n }{ \frac { \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} }{ n^{ r }(r+3) } } \\ \\ L=\lim _{ n\to \infty } \sum _{ r=0 }^{ n }{ \left( \frac { \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} }{ n^{ r } } \int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ r+2 }dx } \right) } \\ \\ L=\lim _{ n\to \infty } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { x }^{ 2 }\sum _{ r=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}\frac { x^{ r } }{ n^{ r } } } \right) dx } \\ \\ L=\lim _{ n\to \infty } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { x }^{ 2 }\sum _{ r=0 }^{ n }{ \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}{ \left( \frac { x }{ n } \right) }^{ r }{ 1 }^{ n-r } } \right) dx } \\ \\ L=\lim _{ n\to \infty } \int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { x }^{ 2 }\left( 1+\frac { x }{ n } \right) ^{ n } \right) dx } \\ \\ L=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { x }^{ 2 }\lim _{ n\to \infty } \left( 1+\frac { x }{ n } \right) ^{ n } \right) dx } \\ \\ L=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( { x }^{ 2 }{ e }^{ x } \right) dx } =\left. \left( x^{ 2 }-2x+2 \right) { e }^{ x } \right\vert _{ 0 }^{ 1 }=e-2\\ \\ so\quad q=2\quad and\quad { q }^{ q }=4$

limit value equal to e-2 therefore q = 2