Last three digits

Taking $2017^{2019}\mod(100)$ for last three digits.

$\begin{aligned} 2017^{2019} & = 2017^{\phi(100)}\mod(100) \phantom{ccccccc}\color{#3D99F6}\text{since }\gcd(2017,100)=1\text{, we can use Euler's Theorem}\\& \equiv 2017^{40}\mod(100) \\ & \equiv 2017^{19}\mod(100) \\ & \equiv 2017^{19}\mod(100) \\ & \equiv 17^{19}\mod(100) \\ & \equiv 17(17^2)^9\mod(100) \\ & \equiv 17(289)^9\mod(100) \\ & \equiv 17(200+89)^9\mod(100) \\ &\equiv 17(89)^9\mod(100) \\ & \equiv 17\times 89 (100-11)^8\mod(100) \\ & \equiv 17\times 89 (11)^8\mod(100) \\ & \equiv 17\times 89(10+1)^8\mod(100) \\ & \equiv 1513 (10+1)^8 \mod(100) \\ & \equiv 1513 \left(C(8,7)10+1\right)\mod(100) \\ & \equiv 1513(10\times 8+1)\mod(100) \\ & \equiv 1513\times 81 \mod(100) \\ & \equiv (122400+153)\mod(100) \\ & \equiv 153 \mod(100)\end{aligned}$