(100 root 3) days streak problem

$\\ y=\lim _{ n\to \infty } \frac { 1 }{ { n }^{ 4 } } [({ n }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 })({ n }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 })......({ n }^{ 2 }+4{ n }^{ 2 })]\\ \ln { y } =\lim _{ n\to \infty } \frac { \sum _{ r=0 }^{ 2n }{ \ln { (\frac { { n }^{ 2 }+{ r }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } } } ) }{ n } \\ \ln { y } =\lim _{ n\to \infty } \sum _{ r=0 }^{ 2n }{ \frac { 2 }{ 2n } \ln { [1+4{ (\frac { r }{ 2n } })^{ 2 }] } } \\$ From the definition of integral :- $\ln { y } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 2\ln { (1+4{ x }^{ 2 }) } } dx\\ \ln { y } =2\ln { 5+2\tan ^{ -1 }{ 2 } -4 } \\ y=25{ e }^{ 2(\tan ^{ -1 }{ 2 } -2) }\\ a=25,\quad b=2,\quad c=2\\ a+b+c=29$