Limit Values

Sabe-se que $\lim_{x \to x_o} \frac{f(x)-f(x_o)}{x - x_o} = f'(x)$ ; inclusive que $f'(x) = 4x^3 + 2ax + b$ .

Daí, $f'(2) = 4$ e $f'(1) = (x + 1) \cdot 9$ , pois $(x - 1) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$

Condição I:

$f'(2) = 32 + 4a + b \\ 4a + b + 32 = 4 \\ \boxed{4a + b = - 28}$

Condição II:

$f'(1) = 4 + 2a + b \\ (1 + 1) \cdot 9 = 4 + 2a + b \\ 18 = 4 + 2a + b \\ \boxed{2a + b = 14}$

Resolvendo o sistema obtido a partir das condições acima,

$\begin{cases} 4a + b = - 28 \\ 2a + b = 14 \;\; \times (- 1 \end{cases} \\ --------- \\ 4a - 2a + b - b = - 28 - 14 \\ 2a = - 42 \\ \boxed{a = - 21}$

Com efeito,

$2a + b = 14 \\ - 42 + b = 14 \\ \boxed{b = 56}$

Logo,

$b - a = 56 - (- 21) \\ b - a = 56 + 21 \\ \boxed{\boxed{b - a = 77}}$ .

Transform:

$\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } =\frac { x^{ 4 }+ax^{ 2 }+bx-(2^{ 4 }+2^{ 2 }.a+2.b) }{ x-2 } =\frac { (x^{ 3 }+2x^{ 2 }+4x+8)(x-2)+a(x-2)(x+2)+b(x-2) }{ x-2 } \\=x^{ 3 }+2x^{ 2 }+4x+8+a(x+2)+b\quad (with \quad x\neq2)$

So,

$\underset{x\to2}{lim}\frac { f(x)-f(2) }{ x-2 } =2^{ 3 }+2.2^{ 2 }+4.2+8+a(2+2)+b=4a+b+32=4 \\ \Leftrightarrow \boxed{4a+b=-28} (1)$

Transform:

$\frac { f(x)-f(1) }{ x^2-1 } = \frac{(x^4+ax^2+bx)-(1+a+b)}{x^2-1}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)+a(x^2-1)+b(x-1)}{x^2-1}\\=x^2+1+a+\frac{b}{x+1}\quad(with\quad x\neq\pm 1)$

So,

$\underset{x\to1}{lim}\frac { f(x)-f(1) }{ x^2-1 } = 1^2+1+a+\frac{b}{1+1} = 2+a+\frac{b}{2}=9 \\\Leftrightarrow \boxed{a+\frac{b}{2}=7} (2)$

Solve the system of equation (1)(2), we have $a = -21,b = 56$ , so $\boxed{b-a = 77}$