Limitless?

$\sin { x } +\cos { x } =1+\sin { x } +\cos { x } -1$ = $1+2\sin { \frac { x }{ 2 } \cos { \frac { x }{ 2 } } -2\sin ^{ 2 }{ \frac { x }{ 2 } } }$ = $1+h\left( x \right) \sin { \frac { x }{ 2 } }$ with ${ Lim }_{ x\rightarrow 0 }h\left( x \right) ={ Lim }_{ x\rightarrow 0 }2(\cos { \frac { x }{ 2 } -\sin { \frac { x }{ 2 } )=2 } }$ . Then, ${ Lim }_{ x\rightarrow 0 }\frac { 1 }{ x } \ln { (\sin { x } } +\cos { x } )$ = ${ Lim }_{ x\rightarrow 0 }[\frac { \ln { (1+h\left( x \right) \sin { \frac { x }{ 2 } ) } } }{ h\left( x \right) \sin { \frac { x }{ 2 } } } \frac { \sin { \frac { x }{ 2 } } }{ \frac { x }{ 2 } } \frac { h\left( x \right) }{ 2 } ]$ $=1$ Hence, ${ Lim }_{ x\rightarrow 0 }{ (\sin { x } +\cos { x) } }^{ \frac { 1 }{ x } }=e$