Maximum value#2

We have from assumption:

$0<x+y\le xy\le \frac { { \left( x+y \right) }^{ 2 } }{ 4 } \Longrightarrow 4\le x+y\le xy$

Then,

$M=\frac { 1 }{ 5{ x }^{ 2 }+7{ y }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 7{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 } } =\frac { 12{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } }{ \left( 5{ x }^{ 2 }+7{ y }^{ 2 } \right) \left( 7{ x }^{ 2 }+5{ y }^{ 2 } \right) } \\ M=\frac { 12{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) } }{ 35{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } } =\frac { 12 }{ 34{ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) }+\left[ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } \right) +\frac { 4{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right] } \\ M\le \frac { 12 }{ 34\times 2xy+4xy } =\frac { 12 }{ 72xy } =\frac { 1 }{ 6xy } \quad (AM-GM\quad inequality)\\ M\le \frac { 1 }{ 6xy } \le \frac { 1 }{ 24 }$

When $x=y=2$ , $M=\frac { 1 }{ 24 } = 0.0417$ .