Maybe you should think by parts

$I= \large \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { { x }^{ 2 } }{ { (x\sin { x } +\cos { x } ) }^{ 2 } } dx } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { x\cos { x } }{ { (x\sin { x } +\cos { x } ) }^{ 2 } } .\frac { x }{ \cos { x } } } dx$ Integrating by parts by letting ${ U }^{ ' }=\frac { x\cos { x } }{ { (x\sin { x } +\cos { x } ) }^{ 2 } } , ( U=\frac { -1 }{ x\sin { x } +\cos { x } } +c )$ $and\quad V=\frac { x }{ \cos { x } }$ we obtain, $I=\begin{cases} \frac { \pi }{ 4 } \\ \frac { -x }{ \cos { x } (x\sin { x } +\cos { x } ) } \\ 0 \end{cases}+ \large \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 4 } }{ \frac { \cos { x } +x\sin { x } }{ \cos ^{ 2 }{ x } (x\sin { x } +\cos { x } ) } dx }$ $= \frac { \frac { -\pi }{ 4 } }{ \frac { \pi }{ 8 } +\frac { 1 }{ 2 } } +\begin{cases} \frac { \pi }{ 4 } \\ \tan { x } \\ 0 \end{cases}=\frac { 4-\pi }{ 4+\pi }$