NMO Problem 3

Brace yourself, long solution coming up.

$For\quad digits\quad from\quad 1\quad to\quad 9,\quad the\quad sum\quad is:-\\ \\ 1\quad +\quad 2\quad +\quad 3\quad +\quad 4\quad +\quad 5\quad +\quad 6\quad +\quad 7\quad +\quad 8\quad +\quad 9\quad \\ \\ Next,\quad for\quad 10\quad to\quad 19:-\\ \\ 1\quad +\quad 1\quad +\quad 2\quad +\quad 3\quad +\quad 4\quad +\quad 5\quad +\quad 6\quad +\quad \\ 7\quad +\quad 8\quad +\quad 9\quad \\ \\ Then\quad for\quad 20\quad to\quad 29:-\\ \\ 2(\quad 1\quad +\quad 1\quad +\quad 2\quad +\quad 3\quad +\quad 4\quad +\quad 5\quad +\quad 6\quad \\ +\quad 7\quad +\quad 8\quad +\quad 9)\\ \\ And\quad so\quad on\quad till\quad 99.\\ \\ Thus,\quad let's\quad take\quad S\quad =\quad 1\quad +\quad 1\quad +\quad 2\quad +\quad 3\quad +\quad 4\quad +\quad 5\quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\quad 6\quad +\quad 8\quad +\quad 9\\ \\ Thus,\quad for\quad digits\quad till\quad 99\quad we\quad have.\\ \\ S\quad +\quad S\quad +\quad 2S\quad +\quad 3S\quad +\quad 4S\quad +\quad 5S\quad +\quad 6S\quad +\quad 7S\\ +8S\quad +\quad 9S\quad =\quad 46S\\ \\ Now\quad for\quad 100\quad to\quad 1000:-\\ \\ \quad 1\quad \times \quad 1\quad \times \quad S\\ +1\quad \times \quad 2\quad \times \quad S\\ .\\ .\\ .\\ +1\quad \times \quad 9\quad \times \quad S\\ +2\quad \times \quad 1\quad \times \quad S\\ +2\quad \times \quad 2\quad \times \quad S\\ .\\ .\\ .\\ +9\quad \times \quad 9\quad \times \quad S\\ \\ Adding\quad all,\quad we\quad get:-\\ (46\quad \times \quad 46\quad \times \quad S)\quad -\quad 1\quad +1\quad (Because\quad there's\quad one\quad 1\quad less\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad in\quad first\quad in\quad first\quad step)\\ =\quad { 46 }^{ 3 }\quad \\ Thus\quad we\quad see\quad for\quad { 10 }^{ 3 },\quad the\quad solution\quad is\quad { 46 }^{ 3 }\\ and\quad for\quad { 10 }^{ 2 },\quad the\quad solution\quad is\quad { 46 }^{ 2 }\\ \\ Thus\quad for\quad any\quad { 10 }^{ k },\quad the\quad solution\quad is\quad \\ { 46 }^{ k }.\\ Hence\quad for\quad { 10 }^{ 2009 },\quad the\quad solution\quad is\\ { 46 }^{ 2009 }.\\ Thus\quad 46\quad +\quad 2009\quad =\quad \boxed { 2055 } .$