Inequality #1
Given that
x − 1 1 − x − 2 4 + x − 3 4 − x − 4 1 < 3 0 1
and that x ∈ ( − ∞ , x 1 ) ∪ ( x 2 , x 3 ) ∪ ( x 4 , x 5 ) ∪ ( x 6 , x 7 ) ∪ ( x 8 , ∞ ) , where x 8 > x 7 > x 6 > x 5 > x 4 > x 3 > x 2 > x 1 , find k = 1 ∑ 8 x k .
The answer is 20.
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1 solution
There should be x 1 to x 8 . You have repeated x 3 in the question.
Given inequality is :
x − 1 1 − x − 2 4 + x − 3 4 − x − 4 1 < 3 0 1
( x − 2 ) ( x − 3 ) 4 − ( x − 1 ) ( x − 4 ) 3 < 3 0 1
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) x 2 − 5 x − 2 < 3 0 1
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x 2 − 5 x + 4 ) ( x 2 − 5 x + 6 ) − 3 0 ( x 2 − 5 x − 2 ) > 0
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x 2 − 5 x ) 2 − 2 0 ( x 2 − 5 x ) + 8 4 > 0
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x 2 − 5 x − 1 4 ) ( x 2 − 5 x − 6 ) > 0
( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x − 7 ) ( x − 6 ) > 0
Hence ,
x ∈ ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( − 1 , 1 ) ∪ ( 2 , 3 ) ∪ ( 4 , 6 ) ∪ ( 7 , ∞ )