Number 7

We can pair up the numbers as follows: $\begin{aligned} (1^{2013}+2^{2013}+3^{2013}+\cdots +2011^{2013}+2012^{2013})&\pmod{2013}\\ \left((1^{2013}+2012^{2013})+(2^{2013}+2011^{2013})+\cdots+(1006^{2013}+1007^{2013})\right)&\pmod{2013}\\ \left((1^{2013}+(-1)^{2013})+(2^{2013}+(-2)^{2013})+\cdots+(1006^{2013}+(-1006)^{2013})\right)&\pmod{2013}\\ (0+0+0+\cdots+0)&\pmod{2013}=0=x \end{aligned}$ Hence $5x=\boxed{0}$

$\text{Here, I use the fact that}$ $(a+b)|{ (a }^{ n }+{ b }^{ n })$ , $\text{for all odd}$ $n$ .

$\text{Now,}$ $x = (1^{2013} + 2^{2013} + \cdots + 2012^{2013} )$ $=$ ${ (1 }^{ 2013 }+{ 2012 }^{ 2013 })+({ 2 }^{ 2013 }+{ 2011 }^{ 2013 })+...+({ 1005 }^{ 2013 }+{ 1008 }^{ 2013 })+({ 1006 }^{ 2013 }+{ 1007 }^{ 2013 })$ \equiv\color\red{0} \quad \text {mod}\quad 2013 .

\therefore \color\green{ 5x=0}