Omnipresent trigonometry

$S=\sum _{ k=0 }^{ 1999 }{ \csc { \frac { (4000+k)\pi }{ 8000 } } } \csc { \frac { (4001+k)\pi }{ 8000 } } =\quad \sum { \frac { 1 }{ \sin { { \frac { (4000+k)\pi }{ 8000 } } } sin\frac { (4001+k)\pi }{ 8000 } } } =\frac { 1 }{ sin\frac { \pi }{ 8000 } } \sum { \frac { \sin { \left( \frac { (4001+k)\pi }{ 8000 } -\frac { (4000+k)\pi }{ 8000 } \right) } }{ \sin { { \frac { (4000+k)\pi }{ 8000 } } } sin\frac { (4001+k)\pi }{ 8000 } } } \\ =\quad \frac { 1 }{ sin\frac { \pi }{ 8000 } } \sum { \cot { \frac { (4000+k)\pi }{ 8000 } } } -\quad cot\frac { (4001+k)\pi }{ 8000 } \quad \left\{ Telescopic\quad series \right\} \\ \\ =\quad \frac { cot\frac { \pi }{ 2 } -cot\frac { 3\pi }{ 4 } }{ sin\frac { \pi }{ 8000 } } =\boxed { \csc { \frac { \pi }{ 8000 } } } \approx \quad \frac { 8000 }{ \pi } \\ \therefore \quad S\pi =\quad \boxed { 8000 }$