Perimeter and Area problem

$ab=77,2(a+b)=36 \implies a+b=18$

We know that $a=\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2},b=\frac{(a+b)-\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2}$

So $\frac{a}{b}=\frac{\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2}}{\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2}}=\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2} \times \frac{2}{(a-b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}=\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{(a+b)-\sqrt{(a+b)^2-4ab}}$

So plug in numbers & we got $\frac{18+\sqrt{18^2-4 \times 77}}{18-\sqrt{18^2-4 \times 77}}=\frac{18+\sqrt{324-308}}{18-\sqrt{324-308}}=\frac{18+4}{18-4}=\frac{22}{14}=\frac{11}{7} \approx \boxed{\large{1.5714285714285714}}$

Note

• $|a-b|=\sqrt{(a+b)^2-4ab}=\sqrt{a^2+2ab+b^2-4ab}=\sqrt{a^2-2ab+b^2}=\sqrt{(a-b)^2}$

• $a=\frac{(a+b)+\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2}=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}=\frac{a+b+a-b}{2}=\frac{2a}{2},b=\frac{(a+b)-\sqrt{(a+b)^2-4ab}}{2}=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}=\frac{a+b-a+b}{2}=\frac{2b}{2}$