Proportionalities

Assume that

$a=2^{x}=3^{y}=12^{z}$

Then we get,

$\log _{ 2 }{ a } =x$

$\log _{ 3 }{ a } =y$

$\log _{ 12 }{ a } =z$

Substitute them,

$\frac { 2 }{ \log _{ 2 }{ a } } +\frac { 1 }{ \log _{ 3 }{ a } } -\frac { 1 }{ \log _{ 12 }{ a } }$

$=\frac { \log _{ 2 }{ 4 } }{ \log _{ 2 }{ a } } +\frac { \log _{ 3 }{ 3 } }{ \log _{ 3 }{ a } } -\frac { \log _{ 12 }{ 12 } }{ \log _{ 12 }{ a } }$

$=\log _{ a }{ 4 } +\log _{ a }{ 3 } -\log _{ a }{ 12 }$

$=\log _{ a }{ (4\times 3\div 12) }$

$=\log _{ a }{ 1 }$

$=0$