Q10

Number Theory Level 4

What is the number of pairs of natural numbers $(x,y)$ in which $x>y$ and $\frac { 5 }{ x } +\frac { 6 }{ y } =1?$

5 3 0 7 2 4 6 1

1 solution

Cleres Cupertino
Sep 2, 2015

$\frac { 5 }{ x } +\frac { 6 }{ y } =1 \Leftrightarrow 5y+6x=xy \Leftrightarrow xy-5y-6x+30=30$

$\Leftrightarrow (x-5)(y-6)=30=1 \times 2 \times 3 \times 5$

1) $x-5=1 \Leftrightarrow x=6; \quad y-6=30 \Leftrightarrow y=36$

2) $x-5=2 \Leftrightarrow x=7; \quad y-6=15 \Leftrightarrow y=21$

3) $x-5=3 \Leftrightarrow x=8; \quad y-6=10 \Leftrightarrow y=16$

4) $x-5=5 \Leftrightarrow x=10; \quad y-6=6 \Leftrightarrow y=12$

5) $x-5=6 \Leftrightarrow x=11; \quad y-6=5 \Leftrightarrow y=11$

6) $x-5=10 \Leftrightarrow \boxed{x=15}; \quad y-6=3 \Leftrightarrow y=9$

7) $x-5=15 \Leftrightarrow \boxed{x=20}; \quad y-6=2 \Leftrightarrow y=8$

8) $x-5=30 \Leftrightarrow \boxed{x=35}; \quad y-6=1 \Leftrightarrow y=7$