Sine and Cosine

$\sin { \frac { \theta }{ 2 } } +\sqrt { 3 } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } =1\\ \sin { \frac { \theta }{ 2 } } +\sqrt { 3 } \cos { \frac { \theta }{ 2 } } \quad is\quad in\quad the\quad form\quad a\sin { x } +b\cos { x } \\ and\quad a\sin { x } +b\cos { x } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { (x+\beta ) } \\ a=1,\quad b=\sqrt { 3 } ,\quad and\quad \beta =\frac { \pi }{ 3 } \\ Therefore,\\ \frac { \pi }{ 3 } \le \frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } <\frac { 4\pi }{ 3 } \\ \sqrt { 1+3 } \sin { (\frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } } )=1\\ 2\sin { (\frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } } )=1\\ \sin { (\frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } } )=\frac { 1 }{ 2 } \\ Let\quad A=\frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } ,\quad \frac { \pi }{ 3 } \le A<\frac { 4\pi }{ 3 } \\ \sin { A } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \quad A=\quad \frac { 5\pi }{ 6 } \\ \frac { \theta }{ 2 } +\frac { \pi }{ 3 } =\frac { 5\pi }{ 6 } \\ \therefore \quad \theta =\pi$