Starts and ends with integrals?

Let $C(x):=\int\limits_{\pi}^{x}\cos(\ln(f(t)))\,\mbox{d} t$ and $S(x):=\int\limits_{\pi}^{x}\sin(\ln(f(t)))\,\mbox{d} t$ . Now $C'(x)=\cos(\ln(f(x)))$ , $S'(x)=\sin(\ln(f(t)))$ and $e^x=\dfrac{C(x)}{S(x)}$ .

So $\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\cos(\ln(f(u)f(v)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\cos(\ln(f(u))+\ln(f(v)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\cos(\ln(f(u)))\cdot\cos(\ln(f(v)))-\sin(\ln(f(u)))\cdot\sin(\ln(f(v)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \cos(\ln(f(v))) \int\limits_{\pi}^{v}\cos(\ln(f(u)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v-\int\limits_{\pi}^{x} \sin(\ln(f(v))) \int\limits_{\pi}^{v} \sin(\ln(f(u)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x}C'(v)C(v)\,\mbox{d}v-\int\limits_{\pi}^{x} S'(v)S(v)\,\mbox{d}v=\dfrac{C^2(x)}{2}-\dfrac{S^2(x)}{2}$ and

$\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\sin(\ln(f(u)f(v)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\sin(\ln(f(u))+\ln(f(v)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \int\limits_{\pi}^{v}\cos(\ln(f(v)))\cdot\sin(\ln(f(u)))+\sin(\ln(f(v)))\cdot\cos(\ln(f(u)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x} \cos(\ln(f(v))) \int\limits_{\pi}^{v}\sin(\ln(f(u)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v+\int\limits_{\pi}^{x} \sin(\ln(f(v))) \int\limits_{\pi}^{v} \cos(\ln(f(u)))\,\mbox{d}u \mbox{d}v=\int\limits_{\pi}^{x}C'(v)S(v)+S'(v)C(v)\,\mbox{d}v=C(x)S(x)$ .

Now $X=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{k}2-\int\limits_{\ln(n)}^{\ln(n+k)} \dfrac{C^2(x)-S^2(x)}{2C(x)S(x)}\mbox{d}x\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{k}2-\int\limits_{\ln(n)}^{\ln(n+k)} \dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\mbox{d}x\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{k}2-\left[\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right]_{\ln(n)}^{\ln(n+k)} \right)=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{k}2-\dfrac{n{+}k+\frac{1}{n+k}-n-\frac{1}{n}}{2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{k}2-\dfrac{k+\frac{1}{n+k}-\frac{1}{n}}{2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}}{2}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}\right)}{2}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-H_{2n}+H_n}{2}=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{1-\ln(2n)-c+\ln(n)+c}{2}=\dfrac{1-\ln 2}{2}=0.\boxed{1534264097}2\ldots$ , where $H_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1k$ .​

ANSWER: $X= \frac12 \int_0^1 \frac{x+1}{x} \, dx= \frac{1-\ln{2}}2$