Still Fresh

Algebra Level 4

$S=1+\frac { \cos { x } }{ \cos { x } } +\frac { \cos { 2x } }{ \cos ^{ 2 }{ x } } +\cdots+\frac { \cos { nx } }{ \cos ^{ n }{ x } } \\ { S }^{ ' }=\frac { \sin { x } }{ \cos { x } } +\frac { \sin { 2x } }{ \cos ^{ 2 }{ x } } +\cdots +\frac { \sin { nx } }{ \cos ^{ n }{ x } } \\ S=?$

Use $S'$ to find $S$ .

\frac { \sin { ((n+1)x) } }{ \sin { x\cos ^{ n+1 }{ ((n+1)x) } } }

None

\frac { \sin { ((n+1)x) } }{ \sin { x\cos ^{ n }{ x } } }

\frac { \sin { ((n+1)x) } }{ \sin { x\cos ^{ n+1 }{ x } } }

1 solution

Mohammad Hamdar
Jan 25, 2016

$S+iS'=\\ 1+\frac { \cos { x+i\sin { x } } }{ \cos { x } } +\frac { \cos { 2x+i\sin { 2x } } }{ \cos ^{ 2 }{ x } } +.....+\frac { \cos { nx+i\sin { nx } } }{ \cos ^{ n }{ x } } \\ ={ (\frac { { e }^{ ix } }{ \cos { x } } ) }^{ 0 }+({ \frac { { e }^{ ix } }{ \cos { x } } ) }^{ 1 }+.....+({ \frac { { e }^{ ix } }{ \cos { x } } ) }^{ n }\\ =\frac { 1-{ (\frac { { e }^{ ix } }{ \cos { x } } ) }^{ n+1 } }{ 1-\frac { { e }^{ ix } }{ \cos { x } } } =\frac { 1-\frac { \cos { ((n+1)x) } +i\sin { ((n+1)x) } }{ \cos ^{ n+1 }{ x } } }{ \frac { -i\sin { x } }{ \cos { x } } } \\ =\frac { 1 }{ \sin { x\cos ^{ n }{ x } } } \left[ \sin { ((n+1)x)+i\quad (\cos ^{ n+1 }{ x-\cos { ((n+1)x)\quad ) } } } \right] \\ S\quad is\quad the\quad Real\quad part\quad of\quad S+iS'\quad and\quad S'\quad is\quad the\quad Imaginary\quad one\\ so,\quad S=\frac { \sin { ((n+1)x) } }{ \sin { x\cos ^{ n }{ x } } }$

Still Fresh

1 solution

0 pending reports