Summing Deltas

$Area\quad of\quad \Delta { AOB }_{ K }\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } .1.K.\sin { \frac { K\pi }{ 2n } } \\ This\quad implies\quad { S }_{ K }\quad =\quad \frac { K }{ 2 } \sin { \frac { K\pi }{ 2n } } \\ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \quad \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \sum _{ K=1 }^{ n }{ \frac { K }{ 2 } } \sin { \frac { K\pi }{ 2n } } \\ \underset { n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { 1 }{ n } \sum _{ K=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ 2 } .\frac { K }{ n } \sin { (\frac { \pi }{ 2 } .\frac { K }{ n } ) } } \\ \\ Now\quad the\quad summation\quad can\quad be\quad \\ converted\quad into\quad definite\quad integral.\\ Let\quad \frac { K }{ n } =\quad x\quad \Rightarrow \frac { 1 }{ n } \rightarrow dx\\ Lower\quad limit\quad \rightarrow \underset { K=1\\ n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { K }{ n } =0\\ Upper\quad limit\quad \rightarrow \underset { K\rightarrow n\\ n\rightarrow \infty }{ lim } \frac { K }{ n } =1\\ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { x }{ 2 } \sin { \frac { \pi x }{ 2 } .dx } } \\ Using\quad Integration\quad By\quad Parts\quad we\quad get\\ \frac { 1 }{ 2 } { \left[ \frac { -x\cos { \frac { \pi x }{ 2 } } }{ \frac { \pi }{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ 1 }\quad +\frac { 1 }{ 2 } { \left[ \frac { \sin { \frac { \pi x }{ 2 } } }{ { \left( \frac { \pi }{ 2 } \right) }^{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ 1 }=\frac { 2 }{ { \pi }^{ 2 } } \\ Hence,\quad C = 2, D = -2, \quad \quad C\times D = -4.$