The Ultimatum

I found that for any whole no. a , the last digit of $a^{5}$ is the last digit of a.

$we\quad have\quad to\quad prove\quad that,\quad 10\quad |\quad { a }^{ 5 }-a\\ { a }^{ 5 }-a\quad =\quad a({ a }^{ 2 }+1)(a+1)(a-1)\\ now\quad clearly\quad 2|\quad a(a+1)\\ so,\quad 2\quad |\quad { a }^{ 5 }-a\\ now\quad r.t.p\quad =\quad 5\quad |\quad { a }^{ 5 }-a\\ case\quad 1\\ if\quad 5\quad |\quad a\quad then\\ 5\quad |\quad { a }^{ 5 }-a\\ case\quad 2\\ if\quad a\quad \equiv \quad 1\quad (mod\quad 5)\\ then\quad 5\quad |\quad a\quad -1\\ so,\quad 5\quad |\quad { a }^{ 5 }-a\\ case\quad 3\\ if\quad a\quad \equiv \quad 2(mod\quad 5)\\ then\quad 5\quad |\quad { a }^{ 2 }+1\\ case\quad 4\\ if\quad a\quad \equiv \quad 3(mod5)\\ then\quad 5\quad |\quad { a }^{ 2 }+1\\ case\quad 5\\ if\quad a\quad \equiv \quad 4\quad (mod\quad 5)\\ then\quad 5\quad |\quad (a+1)\\ so\quad finally\quad in\quad each\quad case\quad 5\quad |\quad \quad { a }^{ 5 }-a\\ so\quad 10\quad |\quad \quad { a }^{ 5 }-a\\ and\quad \quad { a }^{ 5 }-a\quad \equiv \quad 0\quad (mod\quad 10)\\ \quad { a }^{ 5 }\quad \equiv \quad a\quad (mod\quad 10)\quad hence\quad both\quad have\quad unit\quad \\ digit\quad a.\\$