To 306 followers! (Corrected)

Of course, everyone's first try will be: $\boxed{306}$ .

$A=\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \left( \frac { (\frac { d }{ dx } \cos ^{ -1 } \left( \cos \left( x\pi \right) \right) )+\pi }{ 2\pi } \right) } dx\\ \frac { d }{ dx } \cos ^{ -1 } \left( \cos \left( x\pi \right) \right) =\frac { \pi \sin { x\pi } }{ |\sin { x\pi } | } \\ \Rightarrow A=\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } \left( \frac { \frac { \sin { x\pi } }{ |\sin { x\pi } | } +1 }{ 2 } \right) } dx\\ \because \frac { \sin { x\pi } }{ |\sin { x\pi } | } =1\quad \forall \quad 2n<x<(2n+1)\quad and\\ \frac { \sin { x\pi } }{ |\sin { x\pi } | } =-1\quad \forall \quad (2n+1)<x<2(n+1)\\ \Rightarrow A=\sum _{ i=1 }^{ \infty }{ \int _{ 2i }^{ 2i+1 }{ \frac { 1 }{ x^{ 2 } } dx } } \\ \Rightarrow A=\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 6 } -...\\ Consider:\quad \frac { t }{ 1+t } =t-{ t }^{ 2 }+{ t }^{ 3 }-{ t }^{ 4 }+{ t }^{ 5 }-...\quad (sum\quad of\quad G.P)\\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { t }{ 1+t } dt } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ (t-{ t }^{ 2 }+{ t }^{ 3 }-{ t }^{ 4 }+{ t }^{ 5 }-...)dt } =\frac { 1 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 5 } +\frac { 1 }{ 6 } -...\\ but\int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { t }{ 1+t } dt } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ 1-\frac { 1 }{ 1+t } dt } =1-\log { 2 } \\ \Rightarrow A=1-\log { 2 } \approx 0.3068\\ \Rightarrow \left\lfloor 1000A \right\rfloor =\boxed { 306 }$