Triangular number theory

$We\quad observe\quad that\quad triangular\quad numbers\quad have\quad their\quad \\ common\quad differences\quad in\quad A.P.\\ \\ Thus,\quad we\quad can\quad say:-\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad a{ n }^{ 2 }\quad +\quad bn\quad +\quad c\quad =\quad { a }_{ n }\\ \\ Putting\quad n\quad =\quad 1,2,3\quad and\quad looking\quad at\quad { a }_{ n }'s\quad values,\quad we\quad have:-\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad a\quad +\quad b\quad +\quad c\quad =\quad 1\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 4a\quad +\quad 2b\quad +\quad c\quad =\quad 3\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 9a\quad +\quad 3b\quad +\quad c\quad =\quad 6\\ \\ Solving\quad the\quad three\quad equations,\quad we\quad have:-\\ \quad a\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad ,\quad b\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \quad ,\quad \quad c\quad =\quad 0\\ \\ \quad \quad Hence,\quad we\quad have\quad our\quad triangular\quad number\quad in\quad the\quad form:-\\ \quad \quad \quad \quad \quad \cfrac { n\quad (1\quad +\quad n) }{ 2 } \quad =\quad { a }_{ n }\\ \\ Now\quad clearly\quad for\quad any\quad integral\quad number,\quad { a }_{ n }\quad and\quad 4{ a }_{ n }\quad \\ wouldn't\quad exist\quad as\quad triangular\quad \\ numbers\quad as\quad this\quad would\quad turn\quad our\quad n\quad fractional.\\ \\ Hence,\quad n\quad =\quad 0.\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\ \\$