Geometry 几何

theorems 定律

1)In any triangle $ABC$, $AB\lt AC+BC$.
1)对于任意三角形 $ABC$ ， $AB\lt AC+BC$ 。
2)For any right-angled triangle $ABC$ with side $a$ as hypotenuse, $a^2=b^2+c^2$.
2)对于任意以 $a$ 为斜边的直角三角形 $ABC$ ， $a^2=b^2+c^2$ 。
3)For any triangle $ABC$, $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}$.
3)对于任意三角形 $ABC$ ， $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}=\dfrac{\sin C}{c}$ 。
4)For any triangle $ABC$, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
4)对于任意三角形 $ABC$ ， $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 。

proof 证明

Please try to prove 2) and 3) yourself using size relationships.
请自行尝试用面积关系证明定律 2) 和 3) 。

See below 见下图: Image 2.1.2-1 图2.1.2-1

Using size formulae of triangles 根据三角形面积公式: $\begin{aligned} S_{ABC}&=\dfrac12ab\sin C=\dfrac12bc\sin A=\dfrac12ca\sin B {\kern 5em} \text{divide by half abc 除以一半abc}\\ &\Rightarrow \dfrac{\sin C}{c}=\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}. \end{aligned}$

Trigonometry 三角学

theorems 定律

1) $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 {\kern 5em} ( \sin ^2 \theta = ( \sin \theta )^2)$
2) $\sin (A\pm B) =\sin A \cos B \pm \cos A\sin B$
3) $\cos (A\pm B)=\cos A\cos B \mp \sin A\sin B$
4) $\tan (A\pm B)=\dfrac{\tan A \pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$
5) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
6) $\cos 2\alpha = \cos ^2\alpha -\sin^2\alpha =2\cos ^2\alpha -1=1-2\sin ^2 \alpha$
7) $\tan 2\alpha = \dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}$
8) $\sin ^2 A=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$
9) $\cos ^2 A=\dfrac{1+\cos 2A}{2}$
10) $\tan ^2 A=\dfrac{1-\cos 2A}{1+\cos 2A}$
11) For a unit circle on a coordinate grid with its center at the origin, point $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ is on the circle, and line $\overline{OP}$ and the x-axis form an angle of $\theta$.
11)对于一个表示在坐标轴上且圆心在原点的单位圆，点 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 一定在该圆上，而且直线 $\overline{OP}$ 和x-轴的夹角为 $\theta$ 。
12) $\tan (90^\circ -A)=\cot (A)$

proof 证明

11) will be used but not proved 11) 会被用来证明，但它本身不会被证明
Try to prove 1),5),6),7).
尝试证明 1),5),6),7).

A unit circle on a coordinate grid has representation $x^2+y^2=1$. From 11), let $x=\cos A,y=\sin A$, we have 1).
一个表示在坐标轴上的单位圆的表达式为 $x^2+y^2=1$ 。让 $x=\cos A,y=\sin A$ ，由 11) 可得 1) 。

From 2) 由 2) $\sin 2A=\sin A+A=\sin A\cos A+\cos A\sin A=\sin A\cos A+\sin A\cos A=2\sin A\cos A$

From 1) and 3) 由 1) 和 3) $\cos 2A=\cos A+A=\cos A\cos A-\sin A\sin A=\cos ^2 A-\sin ^2 A=(1-\sin A)-\sin A=\cos A-(1-\sin A)$

From 4) 由 4) $\tan 2A=\tan A+A=\dfrac{\tan A+\tan A}{1-\tan A\tan A}=\dfrac{2\tan A}{1-\tan ^2 A}$

From 6) 由 6) $\begin{aligned} \cos 2A&=1-2\sin ^2 A {\kern 5em} &\text{rearrange 移项}\\ 2\sin ^2 A&=1-\cos 2A &\text{divide by 2 除以 2}\\ \sin ^2 A&=\dfrac{1-\cos 2A}{2} \end{aligned}$

From 6) 由 6) $\begin{aligned} \cos 2A&=2\cos ^2 A -1 {\kern 5em} &\text{rearrange 移项}\\ -2\cos ^2 A&=-1-\cos 2A &\text{divide by -2 除以 -2}\\ \cos ^2 A&=\dfrac{1+\cos 2A}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \tan ^2 A&=\dfrac{\sin ^2 A}{\cos ^2 A} {\kern 5em} \text{use 8) and 9) 用 8) 和 9)}\\ &=\dfrac{\frac{1-\cos 2A}{2}}{\frac{1+\cos 2A}{2}}\\ &=\dfrac{1-\cos 2A}{1+\cos 2A} \end{aligned}$