*sin ( A + B ) = sin A ˙ cos B + cos A ˙ sin B \large\sin (A+B)=\sin A\dot\ \cos B +\cos A\dot\ \sin B sin ( A + B ) = sin A ˙ cos B + cos A ˙ sin B
*sin ( A − B ) = sin A ˙ cos B − cos A ˙ sin B \large\sin (A-B)=\sin A\dot\ \cos B -\cos A\dot\ \sin B sin ( A − B ) = sin A ˙ cos B − cos A ˙ sin B
*cos ( A + B ) = cos A ˙ cos B − sin A ˙ sin B \large\cos (A+B)=\cos A\dot\ \cos B-\sin A\dot\ \sin B cos ( A + B ) = cos A ˙ cos B − sin A ˙ sin B
*cos ( A − B ) = cos A ˙ cos B + sin A ˙ sin B \large\cos (A-B)=\cos A\dot\ \cos B+\sin A\dot\ \sin B cos ( A − B ) = cos A ˙ cos B + sin A ˙ sin B
*tan ( A + B ) = tan A + tan B 1 − tan A ˙ tan B \large\tan (A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\dot\ \tan B} tan ( A + B ) = 1 − tan A ˙ tan B tan A + tan B
*tan ( A − B ) = tan A − tan B 1 + tan A ˙ tan B \large\tan (A-B)=\dfrac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\dot\ \tan B} tan ( A − B ) = 1 + tan A ˙ tan B tan A − tan B
*cot ( A + B ) = cot A ˙ cot B − 1 cot B − cot A \large\cot(A+B)=\dfrac{\cot A\dot\ \cot B-1}{\cot B-\cot A} cot ( A + B ) = cot B − cot A cot A ˙ cot B − 1
*cot ( A − B ) = cot A ˙ cot B + 1 cot A + cot B \large\cot(A-B)=\dfrac{\cot A\dot\ \cot B+1}{\cot A+\cot B} cot ( A − B ) = cot A + cot B cot A ˙ cot B + 1
*2 sin A ˙ cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B ) \large2\sin A\dot\ \cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B) 2 sin A ˙ cos B = sin ( A + B ) + sin ( A − B )
*2 cos A ˙ sin B = sin ( A + B ) − sin ( A − B ) \large2\cos A\dot\ \sin B=\sin(A+B)-\sin(A-B) 2 cos A ˙ sin B = sin ( A + B ) − sin ( A − B )
*2 cos A ˙ cos B = cos ( A + B ) + cos ( A − B ) \large2\cos A\dot\ \cos B=\cos(A+B)+\cos(A-B) 2 cos A ˙ cos B = cos ( A + B ) + cos ( A − B )
*2 sin A ˙ sin B = cos ( A − B ) − cos ( A + B ) \large2\sin A\dot\ \sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B) 2 sin A ˙ sin B = cos ( A − B ) − cos ( A + B )
*sin ( A + B ) ˙ sin ( A − B ) = sin 2 A − sin 2 B = cos 2 B − cos 2 A \large\sin (A+B)\dot\ \sin(A-B)=\sin^2 A-\sin^2 B=\cos^2 B-\cos^2 A sin ( A + B ) ˙ sin ( A − B ) = sin 2 A − sin 2 B = cos 2 B − cos 2 A
*cos ( A + B ) ˙ cos ( A − B ) = cos 2 A − sin 2 B = cos 2 B − sin 2 A \large\cos (A+B)\dot\ \cos(A-B)=\cos^2 A-\sin^2 B=\cos^2 B-\sin^2 A cos ( A + B ) ˙ cos ( A − B ) = cos 2 A − sin 2 B = cos 2 B − sin 2 A
*sin C + sin D = 2 sin C + D 2 ˙ sin C − D 2 \large\sin C+\sin D=2\sin \dfrac{C+D}{2}\dot\ \sin \dfrac{C-D}{2} sin C + sin D = 2 sin 2 C + D ˙ sin 2 C − D
*sin C − sin D = 2 cos C + D 2 ˙ sin C − D 2 \large\sin C-\sin D=2\cos \dfrac{C+D}{2}\dot\ \sin \dfrac{C-D}{2} sin C − sin D = 2 cos 2 C + D ˙ sin 2 C − D
*cos C + cos D = 2 cos C + D 2 ˙ cos C − D 2 \large\cos C+\cos D=2\cos \dfrac{C+D}{2}\dot\ \cos \dfrac{C-D}{2} cos C + cos D = 2 cos 2 C + D ˙ cos 2 C − D
*cos C − cos D = 2 sin C + D 2 ˙ sin D − C 2 \large\cos C-\cos D=2\sin \dfrac{C+D}{2}\dot\ \sin \dfrac{D-C}{2} cos C − cos D = 2 sin 2 C + D ˙ sin 2 D − C
*1 − cos 2 A = 2 sin 2 A \large1-\cos 2A=2\sin^2 A 1 − cos 2 A = 2 sin 2 A
*1 + cos 2 A = 2 cos 2 A \large1+\cos 2A=2\cos^2 A 1 + cos 2 A = 2 cos 2 A
*1 − cos 2 A 1 + cos 2 A = tan 2 A \large\dfrac{1-\cos 2A}{1+\cos 2A}=\tan 2A 1 + cos 2 A 1 − cos 2 A = tan 2 A
*sin 2 A = 2 sin A cos A = 2 tan A 1 + tan 2 A \large\sin 2A=2\sin A\cos A=\dfrac{2\tan A}{1+\tan^2 A} sin 2 A = 2 sin A cos A = 1 + tan 2 A 2 tan A
*cos 2 A = ( cos 2 A − sin 2 A ) = ( 1 − 2 sin 2 A ) = ( 2 cos 2 A − 1 ) = ( 1 − tan 2 A 1 + tan 2 A ) \large\cos 2A=(\cos^2 A-\sin^2 A)=(1-2\sin^2 A)=(2\cos^2 A-1)=(\dfrac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A}) cos 2 A = ( cos 2 A − sin 2 A ) = ( 1 − 2 sin 2 A ) = ( 2 cos 2 A − 1 ) = ( 1 + tan 2 A 1 − tan 2 A )
*sin 2 A = 2 tan A 1 + t a n 2 A \large\sin 2A=\dfrac{2\tan A}{1+tan^2 A} sin 2 A = 1 + t a n 2 A 2 tan A
*cos 2 A = 1 − tan 2 A 1 + tan 2 A \large\cos 2A=\dfrac{1-\tan^2 A}{1+\tan^2 A} cos 2 A = 1 + tan 2 A 1 − tan 2 A
*sin 3 A = 3 sin A − 4 sin 3 A \large\sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A sin 3 A = 3 sin A − 4 sin 3 A
*cos 3 A = 4 cos 3 A − 3 cos A \large\cos 3A=4\cos^3 A-3\cos A cos 3 A = 4 cos 3 A − 3 cos A
*tan 3 A = 3 tan A − tan 3 A 1 − 3 tan 2 A \large\tan 3A=\dfrac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A} tan 3 A = 1 − 3 tan 2 A 3 tan A − tan 3 A
*cos 3 A = 3 cos A + cos 3 A 4 \large\cos^3 A=\dfrac{3\cos A+\cos 3A}{4} cos 3 A = 4 3 cos A + cos 3 A
*sin 3 A = 3 sin A − sin 3 A 4 \large\sin^3 A=\dfrac{3\sin A-\sin 3A}{4} sin 3 A = 4 3 sin A − sin 3 A
*sin − 1 x + cos − 1 x = π 2 \large\sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\dfrac{\pi}{2} sin − 1 x + cos − 1 x = 2 π
*tan − 1 x + cot − 1 x = π 2 \large\tan^{-1} x+\cot^{-1} x=\dfrac{\pi}{2} tan − 1 x + cot − 1 x = 2 π
*sec − 1 x + cosec − 1 x = π 2 \large\sec^{-1} x+\text{cosec}^{-1} x=\dfrac{\pi}{2} sec − 1 x + cosec − 1 x = 2 π
*tan − 1 x + tan − 1 y = tan − 1 x + y 1 − x y \large\tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1}\dfrac{x+y}{1-xy} tan − 1 x + tan − 1 y = tan − 1 1 − x y x + y
*tan − 1 x − tan − 1 y = tan − 1 x − y 1 + x y \large\tan^{-1} x-\tan^{-1} y=\tan^{-1}\dfrac{x-y}{1+xy} tan − 1 x − tan − 1 y = tan − 1 1 + x y x − y
*tan − 1 x + tan − 1 y + tan − 1 z = tan − 1 x + y + z − x y z 1 − y z − z x − x y \large\tan^{-1} x+\tan^{-1} y+\tan^{-1} z= \tan^{-1}\dfrac{x+y+z-xyz}{1-yz-zx-xy} tan − 1 x + tan − 1 y + tan − 1 z = tan − 1 1 − y z − z x − x y x + y + z − x y z
*sin − 1 x + sin − 1 y = sin − 1 ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 ) \large\sin^{-1} x+\sin^{-1} y=\sin^{-1} ({x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}) sin − 1 x + sin − 1 y = sin − 1 ( x 1 − y 2 + y 1 − x 2 )
*sin − 1 x − sin − 1 y = sin − 1 ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 ) \large\sin^{-1} x-\sin^{-1} y=\sin^{-1}(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}) sin − 1 x − sin − 1 y = sin − 1 ( x 1 − y 2 − y 1 − x 2 )
*cos − 1 x + cos − 1 y = cos − 1 ( x y − ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 ) ) \large\cos^{-1} x+\cos^{-1} y=\cos^{-1}(xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}) cos − 1 x + cos − 1 y = cos − 1 ( x y − ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 ) )
*cos − 1 x − cos − 1 y = cos − 1 ( x y + ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 ) \large\cos^{-1} x-\cos^{-1} y=\cos^{-1}(xy+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} cos − 1 x − cos − 1 y = cos − 1 ( x y + ( 1 − x 2 ) ( 1 − y 2 )
*2 tan − 1 x = sin − 1 2 x 1 + x 2 = cos − 1 1 − x 2 1 + x 2 = tan − 1 2 x 1 − x 2 \large2\tan^{-1} x=\sin^{-1}\dfrac{2x}{1+x^2}=\cos^{-1}\dfrac{1-x^2}{1+x^2}=\tan^{-1}\dfrac{2x}{1-x^2} 2 tan − 1 x = sin − 1 1 + x 2 2 x = cos − 1 1 + x 2 1 − x 2 = tan − 1 1 − x 2 2 x
*tan − 1 x = cot − 1 1 x \large\tan^{-1} x=\cot^{-1} \dfrac{1}{x} tan − 1 x = cot − 1 x 1
*3 sin − 1 x = sin − 1 ( 3 x − 4 x 3 ) \large3\sin^{-1} x=\sin^{-1}(3x-4x^3) 3 sin − 1 x = sin − 1 ( 3 x − 4 x 3 )
*3 cos − 1 x = cos − 1 ( 4 x 3 − 3 x ) \large3\cos^{-1} x=\cos^{-1}(4x^3-3x) 3 cos − 1 x = cos − 1 ( 4 x 3 − 3 x )
*3 tan − 1 x = tan − 1 3 x − x 3 1 − 3 x 2 \large3\tan^{-1} x=\tan^{-1}\dfrac{3x-x^3}{1-3x^2} 3 tan − 1 x = tan − 1 1 − 3 x 2 3 x − x 3
Easy Math Editor
This discussion board is a place to discuss our Daily Challenges and the math and science related to those challenges. Explanations are more than just a solution — they should explain the steps and thinking strategies that you used to obtain the solution. Comments should further the discussion of math and science.
When posting on Brilliant:
*italics*or_italics_**bold**or__bold__paragraph 1
paragraph 2
[example link](https://brilliant.org)> This is a quote# I indented these lines # 4 spaces, and now they show # up as a code block. print "hello world"\(...\)or\[...\]to ensure proper formatting.2 \times 32^{34}a_{i-1}\frac{2}{3}\sqrt{2}\sum_{i=1}^3\sin \theta\boxed{123}Comments
How can you be bothered to type this all up? I would be like zzzzzzzzzzzzz......