Lengthy Sum

$\text{Sum of all numbers formed using digits}$ $0,2,4,6\& 8 = (0+2+4+6+8)\times (4!)\times (11111) = 5333280$
$\\$

$\text{sum of all numbers formed by given digits which are less than}$ $10000 ~ \text{{all 4 digit numbers }}$ $= (2+4+6+8)\times (3!)\times (1111) = 133320$
$\\$

$\text{Hence required sum}$ $= (5333280)-(133320) = 5199960$

Since, this may go really messy, I would solve this question step by step, So please bear with me!

For Ones place:

When an $8$ is placed, the total amount of numbers formed = $3\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 18$

When a $6$ is placed, the total amount of numbers formed = $3\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 18$

When a $4$ is placed, the total amount of numbers formed = $3\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 18$

When a $2$ is placed, the total amount of numbers formed = $3\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 18$

When a $0$ is placed, the total amount of numbers formed = $4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 24$

Sum at one's place = $(8+6+4+2)18+(0)24\quad =\quad 20\times 18$ --------- $1.$

This same pattern will be followed for the ten's, the hundred's and the thousand's place. So, using the same formula:

Sum at ten's place = $((8+6+4+2)18+(0)24)\times 10\quad =\quad 200\times 18$ ----------- $2.$

Sum at hundred's place = $((8+6+4+2)18+(0)24)\times 100\quad =\quad 2000\times 18$ ----------- $3.$

Sum at thousand's place = $((8+6+4+2)18+(0)24)\times 1000\quad =\quad 20000\times 18$ ----------- $4.$

Now for the ten thousand's place:

When an $8$ is placed, the total amount of numbers formed = $4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 24$

When a $6$ is placed, the total amount of numbers formed = $4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 24$

When a $4$ is placed, the total amount of numbers formed = $4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 24$

When a $2$ is placed, the total amount of numbers formed = $4\times 3\times 2\times 1\quad =\quad 24$

Sum at ten thousand's place = $((8+6+4+2)\times 24)\times 10000\quad =\quad 20000\times 24$ ------------- $5.$

Total sum = $1.+2.+3.+4.+5.$

= $360+3600+36000+360000+4800000$

= $36\times (10+100+1000+10000) + 4800000$

= $36\times (11110) + 4800000$

= $399960+4800000$

= $5199960$

CHEERS!:)

De acordo com a permutação simples, teríamos $5!$ possibilidades de números distintos com 5 dígitos diferentes, porém um desses é $0$ , que à esquerda não vale nada, logo o total passa a ser $4*4*3*2*1 = 96$ números. Agora vem a parte mais chatinha, pois precisamos descobrir a soma dos mesmos.

Partindo das unidades, escolhemos qualquer algorismo para ser fixo a fim de teste, por exemplo o $2$ :

$\boxed{?}\boxed{?}\boxed{?}\boxed{?}\boxed{2}$

Novamente relembrando, como $0$ não pode ser o primeiro dígito, temos $3*3*2*1 = 18$ números que terminam em $2$ . Assim, $18*2$ é a soma de todas as casas decimais de valor $2$ .

Repetimos o procedimento para todos os outros dígitos, então temos que a soma de todas as casas decimais dos 96 números é:

$18*2+18*4+18*6+18*8$

ou

$18(2+4+6+8) = 360 = 36*10$

O procedimento para as demais casas dos números é bastante similar, apenas utilizamos a potência de 10 para ajustar o valor real da sua posição.

$18*20*10 = 3.600 = 36*10^{2}$

$18*20*10^{2} = 36.000 = 36 *10^{3}$

$18*20*10^{3} = 360.000 = 36 * 10^{4}$

Até agora já calculamos o valor de $18*4$ números, faltam os terminados em $0$ .

Sendo esse o último dígito, teríamos mais números, pois desse modo garantíamos que ele não seria o primeiro, e assim teremos apenas números válidos para a condição de valor $>10.000$ .

$\boxed{?}\boxed{?}\boxed{?}\boxed{?}\boxed{0}$

$4*3*2*1 = 24$

Logo,

$24*20*10^{4} = 4.800.000$

Agora somamos tudo

$4.800.000 + 36*11.110 = 5.199.960$

:) Espero ter ajudado, abraços!

Python:

1
2
3
4
5
6
7

from itertools import permutations
total = 0
for combo in permutations('02468'):
    test = int(''.join(combo))
    if test > 10000:
        total += test
print "Answer:", total